การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์
ในอดีต นักปราชญ์ส่วนใหญ่ เช่น พลาโต อริสโตเติล ปโตเลมี เชื่อว่า โลกคือศูนย์กลางของจักรวาล มีทรงกลมท้องฟ้าซึ่งประดับด้วยดาวฤกษ์โคจรล้อมรอบ และมีดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดาวเคราะห์ที่มองเห็นด้วยตาเปล่า 5 ดวง โคจรล้อมรอบอยู่ภายในทรงกลมท้องฟ้าด้วยอัตราเร็วที่ไม่เท่ากัน อย่างไรยังมีนักปราชญ์บางคน เช่น อริสตาร์คัส และ โคเปอร์นิคัส เชื่อว่า ดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลางของระบบสุริยะ มีโลกและดาวเคราะห์ทั้งหลายเป็นบริวารทั้งหลายโคจรรอบดวงอาทิตย์
จวบจนต้นคริสต์ศตวรรษที่ 17 กาลิเลโอ ได้พบหลักฐานที่ยืนยันว่า ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ เคปเลอร์ค้นพบว่า ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี โดยมีความเร็วในวงโคจรไม่เท่ากัน ระยะห่างจากดวงอาทิตย์กับคาบเวลาในการโคจรของดาวเคราะห์แต่ละดวงเป็นสัดส่วนคงที่ นิวตันได้อธิบายว่าที่เป็นเช่นนี้เป็นเพราะอิทธิพลของแรงโน้มถ่วง
กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ (อังกฤษ: Kepler’s laws of planetary motion) คือกฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ โยฮันเนส เคปเลอร์ (พ.ศ. 2114 – พ.ศ. 2173) เป็นผู้ค้นพบ
เคปเลอร์ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์กชื่อไทโค บราห์ (Tycho Brahe) โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เคปเลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่ายๆ ทางคณิตศาสตร์
กฎของเคปเลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติลและสายทอเลมีและกฎทางฟิสิกส์ในขณะนั้น เคปเลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตันสามารถสรุปกฎของเคปเลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัสที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาด
กฎ 3 ข้อของเคปเลอร์
วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดศูนย์กลางจุดหนึ่ง วงรีเกิดจากการมีจุดศูนย์กลาง 2 ศูนย์ ดังภาพ ดังนั้นเคปเลอร์จึงคัดค้านความเชื่อในแนวของอริสโตเติล ปโตเลมีและโคเปอร์นิคัสที่ว่าวงโคจรเป็นวงกลม
ในขณะที่ดาวเคราะห์เคลื่อนไปในวงโคจร เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าดาวเคราะห์โคจรเร็วกว่าเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์และช้าลงเมื่ออยู่ห่างดวงอาทิตย์ ด้วยกฎข้อนี้ เคปเลอร์ได้ล้มทฤษฎีดาราศาสตร์อริสโตเติลที่ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอก (ครึ่งหนึ่งของความยาววงรี) ของวงโคจร ซึ่งหมายความว่า ไม่เพียงแต่วงโคจรที่ใหญ่กว่าเท่านั้นที่มีระยะเวลานานกว่า แต่อัตราความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีวงโคจรทีใหญ่กว่านั้นก็โคจรช้ากว่าวงโคจรที่เล็กกว่าอีกด้วย
กฎของเคปเลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้พิกัดขั้วศูนย์สุริยะ (heliocentric polar coordinate) {\displaystyle \ (r,\theta )}{\displaystyle \ (r,\theta )} อย่างไรก็ตาม กฎของเคปเลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน (Cartesian coordinates)
เส้นที่ลากจากโลกถึงดวงอาทิตย์ จะกวาดพื้นที่เท่ากันในช่วงเวลาเดียวกัน พื้นที่แต่ละส่วนคือช่วงเวลาหนึ่งเดือน โลกอยู่ใกล้กับดวงอาทิตย์ในเดือนมกราคม ซึ่งเคลื่อนที่เร็วกว่าเดือนกรกฎาคม ภาพขยายมาตราส่วนเกินจริง จึงเห็นการโคจรเป็นวงรี ส่วนวงโคจรจริงเกือบเป็นวงกลม
เมื่อวงโคจรของโลกเข้าใกล้ดวงอาทิตย์ความเร็วของการโคจรจะเร็วขึ้น และถ้าไกลความเร็วต่ำลง ทำให้พื้นที่กวาดในช่วงเวลา เดียวกันเท่ากัน
จากกฎพื้นฐานทางแรงโน้มถ่วงของนิวตัน เราสามารถคำนวณความเร็วที่ระดับต่างๆได้ ขณะที่ใกล้กับดวงอาทิตย์แรงดึงดูดมีมาก ความเร็วของดาวเคราะห์เพิ่มขึ้น เพื่อให้แรงเหวี่ยงออกมีค่ามากขึ้นไม่เช่นนั้นจะถูกดูดเข้าหาดวงอาทิตย์ แต่เมื่อดาวเคราะห์โคจรไกล จากดวงอาทิตย์ ความเร็วลดลง เพราะแรงดึงดูดน้อยลง
ดังนั้นวงโคจรยิ่งใหญ่ขึ้น การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ก็ยิ่งช้าลง ซึ่งเคปเลอร์พบความสัมพันธ์ระหว่างคาบ T กับระยะทาง เฉลี่ย ro จากดาวเคราะห์ถึงดวงอาทิตย์ ที่นำไปสู่กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ ซึ่งเขียนไว้ว่า ระยะทางเฉลี่ยยกกำลังสาม หารด้วยคาบยก กำลังสอง เป็นค่าคงที่ ใช้ได้กับดาวเคราะห์ทุกๆดวงในจักรวาล
Co เป็นค่าคงที่
ตัวอย่าง ระยะทางเฉลี่ยจากโลกถึงดวงอาทิตย์เท่ากับ 149.6 x 106 km จงคำนวณหาระยะทางเฉลี่ยจากดาวศุกร์ถึงดวงอาทิตย์ ถ้าคาบการหมุนของโลกรอบดวงอาทิตย์ rO และ ดาวศุกร์รอบดวงอาทิตย r+ เท่ากับ 365.256 วัน และ 224.701 วันตามลำดับ
ค่าคงที่ของเคปเลอร์ CO ถูกกำหนดให้เป็น 1 เมื่อระยะทางจากโลกถึงดวงอาทิตย์เท่ากับ 1 AU = r =1.5 x 108 km = 93 x 106 ไมล์ โดยมีคาบเวลาเท่ากับ 1 ปีของโลก ดังนั้น เราสามารถคำนวณหาค่า CO ได้โดยดูจากข้อมูลในตาราง แทนค่า CO = ( 1AU)3/( 1 ปีโลก)2 = 1
