กฎของเคปเลอร์
หลังจากที่กาลิเลโอพิสูจน์ว่า ระบบดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลางของระบบสุริยะ (Heliocentric) เป็นความจริง นักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ยังปักใจว่า วงโคจรของดาวเคราะห์เป็นรูปวงกลมที่สมบูรณ์ จึงไม่มีใครสามารถพยากรณ์ตำแหน่งของดาวเคราะห์ล่วงหน้าได้ถูกต้อง จนกระทั่ง โจฮานเนส เคปเลอร์ (Johannes Kepler) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันซึ่งมีชีวิตอยู่ในระหว่าง ค.ศ.1571 – 1630 (พ.ศ.2114 – 2173) ได้ทำการวิเคราะห์ข้อมูลตำแหน่งของดาวเคราะห์
ซึ่งได้มาจากการตรวจวัดอย่างละเอียดโดย ไทโค บราเฮ (Tycho Brahe) นักดาราศาสตร์ประจำราชสำนักเดนมาร์ก ผู้มีชื่อเสียงในยุคนั้น (แต่ไทโคคงยังเชื่อในระบบโลกเป็นศูนย์กลาง) แล้วทำการทดลองด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เคปเลอร์พบว่า ผลของการคำนวณซึ่งถือเอาวงโคจรเป็นรูปวงกลมไม่สอดคล้องกับข้อมูลที่ได้จากการสังเกตการณ์ แต่สอดคล้องกับการคำนวณซึ่งถือเอาวงโคจรเป็นรูปวงรี ในปี ค.ศ.1609 (พ.ศ.2152) เคปเลอร์ได้ประกาศกฎข้อที่ 1 (กฎของวงรี) “ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึ่ง”
ในปีเดียวกัน เคปเลอร์พบว่า ความเร็วในวงโคจรของดาวเคราะห์มิใช่ค่าคงที่ ดาวเคราะห์เคลื่อนที่เร็วขึ้นเมื่อเข้าใกล้ดวงอาทิตย์ และเคลื่อนที่ช้าลงเมื่อออกห่างจากดวงอาทิตย์ เคปเลอร์ประกาศกฎข้อที่ 2 (กฎของพื้นที่เท่ากัน) “เมื่อดาวเคราะห์เคลื่อนที่ตามวงโคจรไปในแต่ละช่วงเวลา 1 หน่วย เส้นสมมติที่ลากโยงระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ จะกวาดพื้นที่ในอวกาศได้เท่ากัน”
เก้าปีต่อมา ในปี ค.ศ.1618 (พ.ศ.2161) เคปเลอร์พบว่า พื้นที่ของคาบวงโคจรของดาวเคราะห์ (คำว่า “พื้นที่” หมายถึง กำลังสอง) จะแปรผันตาม ปริมาตรของระยะห่างจากดวงอาทิตย์เสมอ (คำว่า “ปริมาตร” หมายถึง กำลังสาม) หรือพูดอย่างง่ายว่า “กำลังสองของคาบวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ จะแปรผันตาม กำลังสามของระยะห่างจากดวงอาทิตย์ เมื่อนำค่ายกกำลังสองของคาบวงโคจรของดาวเคราะห์ p2 มาหารด้วย ค่ากำลังสามของระยะห่างจากดวงอาทิตย์ a3 จะได้ค่าคงที่เสมอ (p2/a3 = k, k เป็นค่าคงที่) มิว่าจะเป็นดาวเคราะห์ดวงใดก็ตาม กฎข้อที่ 3 นี้เรียกว่า “กฎฮาร์มอนิก” (Harmonic Law)
โดยที่ระยะทาง 1 หน่วยดาราศาสตร์ หรือ 1 AU (Astronomical Unit) เท่ากับ ระยะทางเฉลี่ยจากโลกไปยังดวงอาทิตย์ หรือ 149,600,000 ล้านกิโลเมตร (ในยุคของเคปเลอร์ยังไม่ทราบว่า 1 AU มีค่าเท่าไร จึงติดค่าไ่ว้ในลักษณะของสัดส่วน)
อนึ่ง ในยุคของเคปเลอร์เป็นยุคที่เรขาคณิตรุ่งเรือง เคปเลอร์ได้สร้างแบบจำลองของระบบสุริยะแบบสามมิติ เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมซ้อนกันดังในภาพที่ 6 โดยถือว่า p2 คือพื้นที่ของเวลา และ a3 คือลูกบาศก์ของเวลา เป็นสัดส่วนกันในแต่ละชั้น
สรุป กฎของเคปเลอร์
กฎข้อที่ 1: ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึ่ง
กฎข้อที่ 2: เวลาที่ดาวเคราะห์ใช้โคจรรอบดวงอาทิตย์ คาบเวลาเท่ากันจะกวาดได้พื้นที่เท่ากัน
กฎข้อที่ 3: กำลังสองของคาบวงโคจรรอบดวงอาทิตย์ แปรผันตามกำลังสามของระยะห่างจากดวงอาทิตย์ (p2/a3 = k, k เป็นค่าคงที่)
โยฮันเนส เคปเลอร์ (เยอรมัน: Johannes Kepler; 27 ธันวาคม ค.ศ. 1571 – 15 พฤศจิกายน ค.ศ. 1630) นักดาราศาสตร์ นักโหราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ผู้มีส่วนสำคัญในการปฏิวัติวงการวิทยาศาสตร์ เขาค้นพบกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในงาน Astronomia nova, Harmonice Mundi ของเขา และได้แต่งหนังสือชื่อ Epitome of Copernican Astronomy
โยฮันเนส เคปเลอร์ ประกอบอาชีพเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน Graz (ภายหลังเปลี่ยนเป็น มหาวิทยาลัย Graz) และเป็นผู้ช่วยของ ไทโค บราเฮ นักคณิตศาสตร์ในความอุปถัมภ์ของจักรพรรดิรูด็อล์ฟที่ 2 ผู้ซึ่งรวบรวมรวมข้อมูลของดาวเคราะห์มาตลอดชีวิต และปูทางให้เคปเลอร์ค้นพบกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในเวลาต่อมา เขาทำงานด้านทัศนศาสตร์ และช่วยสนับสนุนการค้นพบกล้องโทรทรรศน์ของกาลิเลโอ กาลิเลอี
เขาถูกยกย่องว่าเป็น “นักฟิสิกส์ดาราศาสตร์ทฤษฎีคนแรก” แต่คาร์ล ซาแกน ยกย่องเขาในฐานะ “นักโหราศาสตร์ทางวิทยาศาสตร์คนสุดท้าย”
กฎของเคปเลอร์
ดูบทความหลักที่: กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์
กฎแห่งวงรี: ดาวเคราะห์โคจรเป็นรูปวงรีรอบดวงอาทิตย์ โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่ง
กฎแห่งการกวาดพื้นที่: ในเวลาที่เท่ากันดาวเคราะห์จะมีพื้นที่ที่เส้นรัศมีจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์กวาดไปเท่ากัน หรือ dA/dt มีค่าคงที่
กฎแห่งคาบ: คาบในการโคจรรอบดวงอาทิตย์กำลังสองแปรผันตรงกับระยะครึ่งแกนเอกของวงโคจรกำลังสาม
นิวตันพิสูจน์กฎของเคปเลอร์
เริ่มต้นนิวตันสมมติให้ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดศูนย์กลางและไม่เคลื่อนที่ โดยมีแรงเข้าสู่ศูนย์กลางกระทำเพียงแรงเดียว ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่า วงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรี พิสูจน์กฎข้อที่หนึ่งของเคปเลอร์ และยังเพิ่มเติมอีกด้วยว่า วงโคจรอาจจะเป็นวงกลม วงรี พาราโบลา หรือ ไฮเปอร์โบลาได้ทั้งสิ้น ขึ้นอยู่กับความเร็วของดาวเคราะห์ในวงโคจรเป็นหลัก
ต่อจากนี้เป็นการพิสูจน์กฎข้อที่สองของนิวตัน โดยสมมติให้วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ผ่านจุด O
ตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงผ่านจุด O กวาดพื้นที่เท่ากันในช่วงเวลาเดียวกัน
ในช่วงระยะเวลาที่เท่ากัน เส้นตรงที่ลากจากจุด O จะกวาดพื้นที่ A1 , A2 และ A3 ตามลำดับ เนื่องจากความเร็วคงที่ พื้นที่ของสามเหลี่ยมทุกอันจะมีฐานยาวเท่ากับ และมีความสูงเดียวกัน จากสูตรของพื้นที่สามเหลี่ยม ที่ว่า พื้นที่ = 1/2 x ฐาน x สูง พิสูจน์ได้ว่าพื้นที่เท่ากันด้วย
เมื่อดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์โดยมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำเพียงแรงเดียว มันจะกวาดพื้นที่ได้เท่ากันในช่วงเวลาเดียวกัน a) ระยะความสูงของสามเหลี่ยม BOD ได้จากการตกของ D ไปตามเส้น BO เนื่องจากแรงสู่ศูนย์กลาง เพราะ CD ขนานกับ BO ความสูงของสามเหลี่ยม BOC จึงเป็นความสูงเดียวกันกับ สามเหลี่ยม BOD ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสองจึงเท่ากัน b) แรง F คือแรงสู่ศูนย์กลางมิทิศทางเข้าหาจุด O
จากรูป a มีแรงกระทำเข้าสู่ศูนย์กลางหรือจุด O มีทิศทางอยู่ในแนว OB ถ้าไม่มีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำ วัตถุนี้จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงในแนว BC ตามกฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน แต่เมื่อมีแรงเข้าสู่ศูนย์กลางกระทำ วัตถุจะเคลื่อนที่ไปที่ D ในแนว BD ความยาว BD เป็นระยะการเคลื่อนที่ของวัตถุในช่วงเวลา โดยมีจุดเริ่มต้นที่ B เพราะว่า BE ขนานกับ CD ทำให้สามเหลี่ยม BOD และ BOC มีฐานเท่ากัน และมีความสูงเดียวกันจึงมีพื้นที่เท่ากัน
พื้นที่ A2 เป็นพื้นที่ของวัตถุที่เกิดจากการเคลื่อนที่เมื่อไม่ถูกแรงเข้าสู่ศูนย์กลางกระทำ ซึ่งจะเท่ากับพื้นที่ A’2 เมื่อมีแรงเข้าสู่ศูนย์กลางกระทำ เช่นเดียวกันถ้ามีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำเข้าสู่จุด O ตลอดเวลา ในช่วงระยะเวลาเดียวกัน วัตถุจะกวาดพื้นที่ได้ A’3 และ A’4 ตามลำดับ โดยมีพื้นที่เท่ากันหมด
ถ้าเราวัดช่วงเวลา เล็กมากๆ จนเกือบเป็นศูนย์ เส้นทางการเคลื่อนที่จะมีลักษณะต่อเนื่องเป็นเส้นโค้ง ภายใต้แรงสู่ศูนย์กลางเพียงแรงเดียว และจะเคลื่อนที่กวาดพื้นที่ได้เท่ากันในช่วงระยะเวลาเดียวกัน แรงเข้าสู่ศูนย์กลางระหว่างดวงดาวคือแรงดึงดูดระหว่างมวล หรือแรงโน้มถ่วงนั่นเอง
เราสามารถพิสูจน์กฎของเคปเลอร์โดยใช้กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตันได้ เริ่มต้นสมมติให้ดาวเคราะห์ m เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยระยะทาง rO ภายใต้แรงสู่ศูนย์กลางจะได้
